Question

在（3-x）²⁰（x∈R，x≠0）的展开式中，已知第2r项与第r+1项（r≠1）的二项式系数相等．
（1）求r的值；
（2）若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值

1

256

相等，求x的值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）由二项式的展开式的通项，得到

C

2r-1 20

=

C

r 20

，再由组合数的性质，即可解出r；
（2）运用通项公式写出第r项和导数第r项，根据题意列出方程，由r=7，解出方程，即可得x的值．

解答： 解：（1）由题意知

C

2r-1 20

=

C

r 20

，
即2r-1=r或2r-1=20-r，解得r=7或r=1（舍去），
故r=7．
（2）T_r=

C

r-1 20

•3^21-r•（-x）^r-1，
倒数第r项T_22-r=

C

21-r 20

•3r-1•(-x)21-r
当r=7时，T₇=

C

6 20

•3¹⁴•x⁶，
倒数第7项，即T₁₅=

C

14 20

•3⁶•x¹⁴，
由题意得，

C

6 20

•3¹⁴•x⁶=

1

256

•

C

14 20

•3⁶•x¹⁴，（x≠0）
即x⁸=256×3⁸，
解得，x=±6．

点评：本题主要考查二项式定理的运用，考查二项式的展开式的通项，注意区别某项的二项式系数和该项的系数的区别．