Question

设等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，若a₁＞0，S₄=S₈，则当S_n取最大值时，n的值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：设等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和的公式化简S₄=S₈，得到首项与公差的关系式，根据首项大于0得到公差d小于0，所以前n项和S_n是关于n的二次函数，由d小于0得到此二次函数为开口向下的抛物线，有最大值，则根据二次函数的对称性可知当n等于6时，S_n取得最大值．

解答： 解：由S₄=S₈得：
4a₁+

4×3

2

d=8a₁+

8×7

2

d，
解得：a₁=-

11

2

d，又a₁＞0，得到d＜0，
所以S_n=na₁+

n×(n-1)

2

d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，
由d＜0，得到S_n是一个关于n的开口向下抛物线，且S₄=S₈，
由二次函数的对称性可知，当n=

4+8

2

=6时，S_n取得最大值．
故答案为：6

点评：此题考查了等差数列的性质，考查了二次函数的图象与性质，是一道综合题．