Question

已知函数f（x）=2^x，f（a）•f（b）=8，若a＞0且b＞0，则

1

a

+

4

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由f（x）=2^x，f（a）•f（b）=8，求出a+b=3，再将

1

a

+

4

b

写成

a+b

3

•（

1

a

+

4

b

），即添1法，再展开，然后运用基本不等式，检验等号成立的条件，求出最小值．

解答： 解：∵f（x）=2^x，f（a）•f（b）=8，
∴2^a•2^b=8，即a+b=3（a，b＞0）
∴

1

a

+

4

b

=

a+b

3

•（

1

a

+

4

b

）=

1

3

（1+4+

b

a

+

4a

b

）≥

1

3

•（5+2

b a • 4a b

）=3，
当且仅当b=2a=2时，取最小值3．
故答案为：3．

点评：本题主要考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，本题运用添1法，避免了错误，同时考查指数的运算法则．