Question

设O为△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），且

2

OA

+

OB

+

OC

=

0

，则∠BAC=

 

．

Answer 1

考点：向量的加法及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：先将“

2

OA

+

OB

+

OC

=

0

”变形为

2

OA

=-(

OB

+

OC

)，则可以说明OA垂直平分BC，且进一步变形可得到OB⊥OC，且OA=OB=OC，则利用数量积容易求得∠BAC．

解答： 解：由

2

OA

+

OB

+

OC

=

0

，得

2

OA

=-(

OB

+

OC

)，设BC中点为D，
由向量加法的平行四边形法则可知

OB

+

OC

=2

OD

=-

2

OA

，
∴A、O、D三点共线，又∵OB=OC，
∴AD⊥BC，将

2

OA

=-(

OB

+

OC

)，两边平方后得：2

OA

2=

OB

2+

OC

2+2

OB

•

OC

，
∴

OB

•

OC

=0，∴OB⊥OC，∴∠BOC=90°，∠AOB=∠AOC=135°，
∴∠BAC=2×

180°-135°

2

=45°．
故答案为：45°

点评：充分利用向量的运算法则的几何意义挖掘题目条件所隐含的图形的几何性质是解题的关键．