Question

9．若x，y∈R⁺且2x+y=1，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值（　　）

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $3-2\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+y）=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺且2x+y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+y）
=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$即x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$且y=$\sqrt{2}$-1时取等号．
故选：A．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．