Question

14．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

Answer 1

分析 （1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．
（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．

解答 （12分）
解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有
 $\left\{\begin{array}{l}2x+1.5y≤W\\ x+1.5y≤12\\ 2x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．
当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．
将z=1000x+1200y变形为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$，
当x=2.4，y=4.8时，直线l：$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z_max=2.4×1000+4.8×1200=8160．
当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．
将z=1000x+1200y变形为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$，
当x=3，y=6时，直线l：$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z_max=3×1000+6×1200=10200．
当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．

将z=1000x+1200y变形为：$y=-\frac{5}{6}x+\frac{z}{1200}$，
当x=6，y=4时，直线l：y=-56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z_max=6×1000+4×1200=10800．
故最大获利Z的分布列为：

Z	8160	10200	10800
P	0.3	0.5	0.2

因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P₁=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：
$P=1-{（1-{P}_{1}）}^{3}=0.973$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．