Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆C：x²+y²-6x+1=0相交于A，B两点，且|AB|=4，则该双曲线离心率等于（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用体积推出ab关系式，然后求解离心率即可．

解答 解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，
圆C：x²+y²-6x+1=0的圆心（3，0），半径为：2$\sqrt{2}$，
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆C：x²+y²-6x+1=0相交于A，B两点，且|AB|=4，
可得$（\frac{3b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}）^{2}+{2}^{2}=8$，
$\begin{array}{c}\frac{9{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=4，\end{array}\right.$
即：5b²=4a²，
可得5（c²-a²）=4a²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．