Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=45°，AD=1，AB=

2

，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角P-BD-A的大小为α，直线PA与平面PBC所成角的大小为β，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由余弦定理，利用已知条件得BD=1，从而求出AD⊥BD，进而得到BD⊥平面PAD，由此能够证明PA⊥BD．
（Ⅱ）由已知条件推导出∠PDA为二面角P-BD-A的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cos（α+β）的值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠BAD=45°，AD=1，AB=

2

，
∴由余弦定理，得：
BD=

1+2-2×1× 2 ×cos45°

=1，…（2分）
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又∵平面PAD⊥平面PBD，∴BD⊥平面PAD，
又PA?平面PAD，∴PA⊥BD．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD⊥平面PAD，
∴∠PDA为二面角P-BD-A的平面角，
在正△PAD中，∠PDA=α=60°．
又BD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
取AD的中点E，连结PE，∵△PAD是正三角形，∴PE⊥AD．
∴PE⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系．由题意知A(

1

2

，0，0)，P(0，0，

3

2

)，
∴

PA

=(

1

2

，0，-

3

2

)．B(

1

2

，1，0)，

PB

=(

1

2

，1，-

3

2

)，
∵底面ABCD为平行四边形，∴

CB

=

DA

=(1，0，0)，
设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

PB

=

1

2

x+y-

3

2

z=0，

n

•

CB

=x=0，
令z=1，得y=

3

2

，∴

n

=(0，

3

2

，1)．
∴sinβ=|

n • PA

| n |•| PA |

|=

21

7

，cosβ=

1-sin2β

=

2 7

7

．
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-

7

14

．…（13分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查两角和余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．