Question

【题目】如图，四棱台中， 底面，平面平面为的中点.

（1）证明： ；

（2）若，且，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得到，再根据面面垂直性质定理得线面垂直平面即得；（2）利用等体积法可将点面距离转化为求高，也可直接作出垂线，再在三角形中求解.因为平面, 所以平面平面，过点作，交于点，则平面，最后解三角形即可.

试题解析：（1）证明：连接，

∵为四棱台，四边形四边形，

∴，由得， ，

又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，

又为的中点，所以，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面平面，

∴；

（2）解：

在中， ，利用余弦定理可求得， 或，由于，所以，从而，知，

又∵底面，则平面底面为交线，

∴平面，所以，由（1）知，

∴平面（连接），

∴平面平面，过点作，交于点，

则平面，

在中可求得，所以，

所以，点到平面的距离为.