[题目]如图.四棱台中. 底面.平面平面为的中点.(1)证明: ,(2)若.且.求二面角的正弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点.

（1）证明：；

（2）若，且，求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先根据平几知识求，再根据面面垂直性质定理得平面即得；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：连接，

∵为四棱台，四边形四边形，

∴，由得，，

又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，

又为的中点，所以，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面平面，

∴；

（2）解：

在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，从而，知，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，，

由于平面，所以平面的法向量为，

设平面的法向量为，，，

设，所以，

，

∴，

即二面角的正弦值为.

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（2）若，证明： .

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（2）由（1）可知，，

由，可得，令，利用导数研究其单调性可得

，

从而证明.

试题解析：（（1）由题意，所以，

又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（1）可知，，

由，可得，

令，

，

令

当时，，单调递减，且；

当时，，单调递增；且，

所以在上当单调递减，在上单调递增，且，

故，

故.

【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.

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【结束】
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