【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若,求函数
的单调区间;
(Ⅲ)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(Ⅱ)在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅲ)
,等价于
,等价于
,设
,只须证
成立,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求出
的最小值,证明最小值大于零即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)若,则
,
,
所以在点
处的切线方程为
.
(Ⅱ)
令,则
.
令,得
(依题意
)
由,得
;由
,得
.
所以, 在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以,
因为,所以
.
所以,即
.
所以函数的单调递增区间为
.
(Ⅲ)由,等价于
,
等价于.
设,只须证
成立.
因为
由,得
有异号两根.
令其正根为,则
.
在上
,在
上
则的最小值为
又
所以则
因此即
所以
.所以
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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【题目】设点是
所在平面内一点,下列说法正确的是( )
A.若,则
的形状为等边三角形
B.若,则点
是边
的中点
C.过任作一条直线,再分别过顶点
作
的垂线,垂足分别为
,若
恒成立,则点
是
的垂心
D.若则点
在边
的延长线上
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【题目】对数函数g(x)=1ogax(a>0,a≠1)和指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)互为反函数.已知函数f(x)=3x,其反函数为y=g(x).
(Ⅰ)若函数g(kx2+2x+1)的定义域为R,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)若0<x1<x2且|g(x1)|=|g(x2)|,求4x1+x2的最小值;
(Ⅲ)定义在I上的函数F(x),如果满足:对任意x∈I,总存在常数M>0,都有-M≤F(x)≤M成立,则称函数F(x)是I上的有界函数,其中M为函数F(x)的上界.若函数h(x)=,当m≠0时,探求函数h(x)在x∈[0,1]上是否存在上界M,若存在,求出M的取值范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数,
.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,求
在区间
上的最大值和最小值;
(3)当时,若方程
在区间
上有唯一解,求
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P一ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,
PB=.
(Ⅰ)求证:BC⊥PB;
(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值;
(Ⅲ)若点E在棱PA上,且BE//平面PCD,求线段BE的长.
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【题目】已知函数,关于函数
的性质,有以下四个推断:
①的定义域是
;
②的值域是
;
③是奇函数;
④是区间(0,2)内的增函数.
其中推断正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】在平面直角坐标系中,动点
到定点
的距离与它到直线
的距离相等.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设动直线与曲线
相切于点
,与直线
相交于点
.
证明:以为直径的圆恒过
轴上某定点.
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