Question

【题目】如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,

PB＝．

(Ⅰ)求证：BC⊥PB;

(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；

(Ⅲ)若点E在棱PA上，且BE//平面PCD，求线段BE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ;(3) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理，证得⊥平面，进而证得所以⊥；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，得到向量的坐标，再得到平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可得到二面角的余弦值；

（Ⅲ）由点在棱，所以，得到所以， ，

再根据与平面的法向量的数量积等于零，即可求解的值．

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，

且平面平面，

因为⊥，且平面

所以⊥平面．

因为平面，

所以⊥．

（Ⅱ）解：在△中，因为， ， ，

所以，所以⊥．

所以，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以， ， ，

， ，

， ．

易知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则， 即，

令，则．

设二面角的平面角为，可知为锐角，

则，

即二面角的余弦值为．

（Ⅲ）解：因为点在棱，所以， ．

因为，

所以， ．

又因为平面， 为平面的一个法向量，

所以，即，所以．

所以，所以．