Question

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）已知a=1，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．
（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．

解答：解：对函数求导得：f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a，定义域为（0，2）
（1）当a=1时，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜

2

时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，

2

＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，

2

），单调减区间为（

2

，2）
（2）函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
，f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．
最大值在右端点取到．fmax=f(1)=a=

1

2

所以a=

1

2

．

点评：考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．