【题目】设是公比为正整数的等比数列,
是等差数列,且
,
,
.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)设数列
的前
项和为
.
①试求最小的正整数,使得当
时,都有
成立;
②是否存在正整数 ,使得
成立?若存在,请求出所有满足条件的
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)①最小的正整数;②存在正整数
,使得
成立.
【解析】
试题分析:
(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;(2)①,
可得数列的前2n项和
,设
,则
,
时,
,即
时,
,数列
在
时单调递增,而
,所以
,即可得出最小的正整数.②由
,
,
,
,
,
,
,
.按
的奇偶性分情况: 1°当
同时为偶数时,由①可知
; 2°当
同时为奇数时,
时,
,数列
在
时单调递增,
不成立; 3°当
为偶数,
为奇数时,
,
不成立; 4°当
为奇数,
为偶数时,显然
时,
不成立;综合即可得出使得
成立的正整数
.
试题解析:
(1)由,
,
得,
,
设的公比为
,
的公差为
,
由,
得,
即,消去
,得
,
解得或
,
又,
,
得.
(2)①,
,
,
,
设,
则,
所以数列单调递增,则
时,
,
即时,
,数列
在
时单调递增,
而,所以当
时,
,
综上,最小的正整数.
②法一:,
,
,
,
,
,
,
.
1.当同时为偶数时,由①可知
;
2.当同时为奇数时,设
,
则,
所以数列单调递增,则当
时,
,
即时,
,数列
在
时单调递增,
而,
故当同时为奇数时,
不成立;
3.当为偶数,
为奇数时,显然
时,
不成立,
若,则
,
,
,
由2.可知,
,
当
为偶数,
为奇数时,
不成立;
4.当为奇数,
为偶数时,显然
时,
不成立,
若,则
,
若,
则,
即,
时,
不成立,
若,即
,
由①中数列的单调性,可知
,
设,
恒成立,
所以数列单调递增,
则当时,
,
,
时
也不成立;
综上1.2.3.4.,存在正整数,使得
成立.
法二:可以证明当时,不等式
恒成立,余下略.
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【题目】总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 |
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 |
A. 14 B. 07 C. 04 D. 01
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地干旱少雨,农作物受灾严重,为了使今后保证农田灌溉,当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠(水渠的横断面如图所示),为减少水的流失量,必须减少水与渠壁的接触面,若水渠横断面的面积设计为定值S,渠深为h,则水渠壁的倾斜角α(0<α<)为多大时,水渠中水的流失量最小?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间的关系,下表记录了小李某月连续5天每天打篮球时间(单位:小时)与当天投篮命中率
之间的关系:
时间 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
命中率 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
(Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出投篮命中率与打篮球时间
(单位:小时)之间的回归直线方程
;
(Ⅱ)如果小李某天打了2.5小时篮球,预测小李当天的投篮命中率.
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某大学一年级女生中,选取身高分别是150cm、155cm、160cm、165cm、170cm的学生各一名,其身高和体重数据如表所示:
身高/cm ( | 150 | 155 | 160 | 165 | 170 |
体重/kg ( | 43 | 46 | 49 | 51 | 56 |
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,计算身高为168cm时,体重的估计值为多少?
参考公式:线性回归方程,其中
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校高中毕业班有男生人,女生
人,学校为了对高三学生数学学习情况进行分析,从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取
名学生成绩,统计数据如下表所示:
分数段(分) | 总计 | |||||
频数 |
(1)若成绩在分以上(含
分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人数;
(2)如果样本数据中,有60名女生数学成绩及格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判断是否有的把握认为:“该校学生的数学成绩与性别有关”.
女生 | 男生 | 总计 | |
及格人数 | |||
不及格人数 | |||
总计 |
参考公式:
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与
轴的正半轴重合,且长度单位相同。
直线的极坐标方程为:
,点
,参数
。
(1)求点轨迹的直角坐标方程;
(2)求点到直线
距离的最大值。
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