Question

10．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为$2\sqrt{2}+2$．

Answer 1

分析 根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．

解答 解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4×$\frac{1}{2}$×1×1×sinα=2sinα，
由余弦定理可得正方形边长为：$\sqrt{1+1-2×1×1×cosα}$=$\sqrt{2-2cosα}$，
故正方形面积为：2-2cosα，
所以所求八边形的面积为：2sinα-2cosα+2=2$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）+2，
所以该八边形的面积的最大值为$2\sqrt{2}+2$．
故答案为：$2\sqrt{2}+2$．

点评 本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用．正、余弦定理是考查解三角形的重点，是必考内容．