Question

19．设x₁，x₂是函数f（x）=ax²+（b-1）x+1（a＞0，b∈R）的两个不同零点．
（Ⅰ）若x₁=1，对任意x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），求f（x）；
（Ⅱ）若a≥2，x₁-x₂=-2，当x∈（x₁，x₂）时，g（x）=-f（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（2-x）=f（x+2）得出x=2是f（x）的对称轴，从而得出函数的零点，求出a、b的值；
（Ⅱ）设出函数f（x）的解析式，表示出g（x），求出g（x）的最大值h（a），再求h（a）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵对任意x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），
∴x=2是f（x）的对称轴，
∴1，3为函数的两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{9a+3b=2}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{3}$；
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+1；
（Ⅱ）设函数f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
则g（x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x₁）=a（x₂-x）（x-x₁+$\frac{2}{a}$），
当x∈（x₁，x₂），a≥2时，
x₂-x＞0，x-x₁+$\frac{2}{a}$＞0，
∴g（x）≤a•$\frac{1}{2}$${{（x}_{2}{-x}_{1}+\frac{1}{a}）}^{2}$=a+$\frac{1}{a}$+2，
当x=-$\frac{b+1}{2a}$时“=”成立；
∴h（a）=a+$\frac{1}{a}$+2，（a≥2）
∴h（a）是单调递增的函数，
∴h（a）的最小值是h（a）_min=h（2）=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了求函数的最值问题，是综合性题目．