Question

10．设函数$f（x）={x^3}-\frac{3（t+1）}{2}{x^2}+3tx+1$（t＞0）．
（1）若t=2，求函数f（x）的极大值；
（2）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在区间[0，2]上的最小值，求实数t的取值范围；
（3）若f（x）≤xe^x-m（e≈2.718）对任意的x∈[0，+∞）恒成立时m的最大值为-1，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由t=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，判断单调性如此极大值．（2）求出函数的导数，利用导数为0，求出极值点，通过①当t≥2时，②当1＜t＜2时，③当0＜t＜1时，④当t=1时，分别求解x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值．推出t的取值范围．
（3）由题意转化条件为$m≤x{e^x}-{x^3}+\frac{3（t+1）}{2}{x^2}-3tx-1=x[{e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t]-1$对任意的x≥0恒成立，构造函数$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t$，通过函数的导数，求出新函数的最小值，然后求解t的取值范围．

解答 解：（1）若t=2，则$f（x）={x^3}-\frac{9}{2}{x^2}+6x+1$，
所以，f′（x）=3x²-9x+6，令f′（x）=0，得x=1，2；
令f′（x）＜0，得1＜x＜2，
所以，f（x）在区间（1，2）内递减，在区间（-∞，1），（2，+∞）内递增，
得f（x）的极大值为$f（1）=\frac{7}{2}$…4'
（2）函数$f（x）={x^3}-\frac{3（t+1）}{2}{x^2}+3tx+1$．
得f′（x）=3x²-3（t+1）x+3t=3（x-1）（x-t），t＞0．
令f′（x）=0，得x=1，t；…6'
①当t≥2时，可以判定f（x）在区间（0，1）内递增，在区间（1，2）内递减，
此时，不存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值；
②当1＜t＜2时，可以判定f（x）在区间（0，1）、（t，2）内递增，在区间（1，t）内递减，
欲存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值，
则必须有f（t）≤f（0），即${t^3}-\frac{3（t+1）}{2}{t^2}+3{t^2}+1≤1$，解得t≥3，不合题意，舍去．
③当0＜t＜1时，可以判定f（x）在区间（0，t）、（1，2）内递增，在区间（t，1）内递减，
欲存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值，
则必须有f（1）≤f（0），即$\frac{3t+1}{2}≤1$，解得$t≤\frac{1}{3}$，所以，$0＜t≤\frac{1}{3}$．
④当t=1时，可以判定f（x）在区间（0，2）内递增，
不存在x₀∈（0，2）使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最小值．
综上所述，得t的取值范围为$（0，\frac{1}{3}]$…10'
（3）若f（x）≤xe^x-m（e为自然对数的底数）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，
即 $m≤x{e^x}-{x^3}+\frac{3（t+1）}{2}{x^2}-3tx-1=x[{e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t]-1$对任意的x≥0恒成立，…11'
令$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t$，由于m的最大值为-1，
所以$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{3（t+1）}{2}x-3t≥0$恒成立…12'
由g（0）=1-3t≥0可得$0＜t≤\frac{1}{3}$，
当$0＜t≤\frac{1}{3}$时，$g'（x）={e^x}-2x+\frac{3（t+1）}{2}$，
再设$h（x）=g'（x）={e^x}-2x+\frac{3（t+1）}{2}$，得h′（x）=e^x-2=0，解得x=ln2．h（x）在区间（0，ln2）内递减，在区间（ln2，+∞）内递增，h（x）的最小值为$h（ln2）=2+\frac{3（t+1）}{2}-2ln2$，可以判定h（ln2）＞0，
即g′（x）＞0，所以g（x）在区间[0，+∞）内递增，
则有g（x）在区间[0，+∞）内的最小值g（0）=1-3t≥0，得$t≤\frac{1}{3}$．
所以，t的取值范围是$（0，\frac{1}{3}]$…16'

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用，考查计算能力．