Question

5．设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=0，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=0，用S₁、S₂、S₃分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S₁+S₂+S₃的最大值为2．

Answer 1

分析 由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．

解答 解：设AB=a，AC=b，AD=c，
因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a²+b²+c²=4R²=4
所以S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=$\frac{1}{2}$（ab+ac+bc ）≤$\frac{1}{2}$（a²+b²+c²）=2
即最大值为：2
故答案为：2．

点评 本题考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键