Question

19．设$\overline{z}$为复数z的共轭复数，满足|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$．
（1）若z为纯虚数，求z；
（2）若z-$\overline{z}$²为实数，求|z|．

Answer 1

分析 （1）设z=bi，b∈R，则$\overline{z}$=-bi，利用|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，求出b，然后求解复数z．
（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则$\overline{z}$=a-bi，利用|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，求出|b|=$\sqrt{3}$，化简z-$\overline{z}$²，通过z-$\overline{z}$²为实数，求出a，然后求解|z|．

解答 解：（1）设z=bi，b∈R，则$\overline{z}$=-bi，
因为|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，则|2bi|=2$\sqrt{3}$，即|b|=$\sqrt{3}$…（4分）
所以b=$±\sqrt{3}$，所以z=$±\sqrt{3}i$…（6分）
（2）设z=a+bi，（a，b∈R），则$\overline{z}$=a-bi，
因为|z-$\overline{z}$|=2$\sqrt{3}$，则|2bi|=2$\sqrt{3}$，即|b|=$\sqrt{3}$．…（7分）
z-$\overline{z}$²=a+bi-（a-bi）²=a-a²+b²+（b+2ab）i．
因为z-$\overline{z}$²为实数，所以b+2ab=0…（10分）
因为|b|=$\sqrt{3}$，所以a=$-\frac{1}{2}$，…（12分）
所以|z|=$\sqrt{{（-\frac{1}{2}）}^{2}+{（±\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$…（14分）

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的模的求法，共轭复数的应用，考查计算能力．