Question

9．（1）若x，y都是正实数，且x+y＞2，求证：$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一个成立．
（2）已知a、b、c∈R⁺，求证：$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$．

Answer 1

分析 （1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．
（2）利用分析法证明即可．

解答 证明：（1）假设$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2都不成立，即$\frac{1+x}{y}$≥2和$\frac{1+y}{x}$≥2同时成立．…（2分）
∵x＞0且y＞0，∴1+x≥2y，且1+y≥2x．…（4分）
两式相加得2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2．这与已知条件x+y＞2矛盾，
∴$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一个成立．  …（6分）
（2）要证$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$，
只需证：3（a²+b²+c²）≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，…（9分）
只需证：2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca，…（10分）
只需证：（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，而这是显然成立的，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{3}}$≥$\frac{a+b+c}{3}$成立  …（12分）

点评 本题考查分析法、反证法证明命题，在作证明题时，对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．