Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数的图象，根据图象写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，由奇函数可得此时解析式，又可得f（0）=0，综合可得；
（2）由分段函数解析式可得图象，可得单调递减区间．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x=-2^x．
∴函数的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$
（2）函数图象如图所示：
通过函数的图象可得f（x）的单调递减区间是（-∞，0）和（0，+∞）．

点评 本题考查函数的解析式的求解，涉及函数的奇偶性和单调性，属基础题．