Question

6．设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（x）+f′（x）
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与g（$\frac{1}{x}$）的大小关系；
（3）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜$\frac{1}{a}$对任意x＞0成立．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=0，且f′（x）=$\frac{1}{x}$可得f（x）=lnx，从而化简g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，从而求导确定函数的单调性及最小值；
（2）通过函数的导数，利用函数的单调性，半比较两个函数的大小关系即可．
（3）利用（1）的结论，转化不等式，求解即可．

解答 解：（1）∵f（1）=0，且f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故g_min（x）=g（1）=1；
（2）令F（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$）=lnx+$\frac{1}{x}$-（ln$\frac{1}{x}$+x）=2lnx+$\frac{1}{x}$-x，
故F′（x）=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
故F（x）=g（x）-g（$\frac{1}{x}$）在（0，+∞）上是减函数，
且当x=1时，F（x）=0，即g（x）=g（$\frac{1}{x}$），
故当0＜x＜1时，g（x）＞g（$\frac{1}{x}$）；当x＞1时，g（x）＜g（$\frac{1}{x}$）；
（3）由（1）知g（x）的最小值为1，
∴g（a）-g（x）＜$\frac{1}{a}$，对任意x＞0，成立?g（a）-1＜$\frac{1}{a}$，
即Ina＜1，从而得0＜a＜e．

点评 本题考查了导数的综合应用及构造函数判断大小关系的应用，属于中档题．