Question

17．设函数f（x）=1+（1+a）x-x²-x³，其中a＞0．讨论f（x）在其定义域上的单调性．

Answer 1

分析 求出导数，利用导数的正负判断函数的单调性即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=1+a-2x-3x²，
由f′（x）=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，x₁＜x₂，
∴由f′（x）＜0得x＜$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x＞$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
由f′（x）＞0得$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
故f（x）在（-∞，$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$）和（$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，+∞）单调递减，
在（$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$）上单调递增．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的计算能力，属中档题．