Question

12．下列不等式中，不能恒成立的一个是（　　）

• A． $\frac{{{x^2}+{y^2}}}{2}≥{（\frac{x+y}{2}）^2}$
• B． ${x^2}+2≥2\sqrt{{x^2}+1}$
• C． （a²+1）（b²+1）＞（ab+1）²
• D． |a+b|-|a-b|≤2|b|

Answer 1

分析 变形为$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$$-（\frac{x+y}{2}）$²=（$\frac{x-y}{2}$）²≥0，（x=y等号成立）x²+2=（x²+1）+1$≥2\sqrt{{x}^{2}+1}$（x=0时等号成立），（a²+1）（b²+1）≥（ab+1）²（a=b时等号成立）
利用等号成立问题，可以判断选项．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$$-（\frac{x+y}{2}）$²=（$\frac{x-y}{2}$）²≥0，（x=y等号成立）
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$≥（$\frac{x+y}{2}$）²（x=y等号成立），
∴x²$+2≥2\sqrt{{x}^{2}+1}$恒成立．
∵（a²+1）（b²+1）=a²b²+a²+b²+1，
（ab+1）²=a²b²+2ab+1，
a²+b²≥2ab（a=b时等号成立）
∴（a²+1）（b²+1）≥（ab+1）²（a=b时等号成立）
故可以判断C选项不恒成立，
故选：C．

点评 本题考察了基本不等式的运用，判断不等式成立问题，属于中档题，关键看等号．