Question

3．函数f（x）=Acosωx（A＞0，ω＞0）部分图象如图所示，其中M、N（12，0）、Q分别是函数图象在y轴右侧的第一、二个零点、第一个最低点，且△MQN是等边三角形．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x₀+2）=$\sqrt{3}$，求sin$\frac{π}{4}$x₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求得ω 的值，可得M（4，0）、N（12，0）、Q（8，-1）．再利用等边三角形的性质求得A的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f（x₀+2）=4$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{8}$x₀+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，求得cos（$\frac{π}{8}$x₀+$\frac{π}{4}$）的值，再根据sin$\frac{π}{4}$x₀ =-cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{2}$），利用二倍角的余弦公式计算求得结果．

解答 解：（Ⅰ）依题意有$\frac{3}{4}$T=$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=12，∴T=16，ω=$\frac{π}{8}$，∴M（4，0）、N（12，0）．
因为△MQN是等边三角形，所以|-A|=8•sin60°=4$\sqrt{3}$，∴A=4$\sqrt{3}$，Q（8，-4$\sqrt{3}$），f（x）=4$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{8}$x．
（Ⅱ）∵f（x₀+2）=4$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{8}$x₀+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$，∴cos（$\frac{π}{8}$x₀+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
∴sin$\frac{π}{4}$x₀ =-cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{2}$）=-[2cos²（$\frac{π}{8}$x₀+$\frac{π}{4}$）-1]=$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，余弦函数的图象特征，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．