Question

12．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA=$\sqrt{2}$MO，则a的取值范围$\sqrt{3}$≤a≤4+$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 设M（x₀，y₀），运用两点的距离公式，化简整理可得M在以（-1，2）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上，则由两圆有公共点的条件可得圆心距离介于半径之和与半径之差的绝对值之间，解不等式即可得到r的范围．

解答 解：圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，即圆C：（x+1）²+（y-2）²=2，表示以C（-1，2）为圆心、半径等于$\sqrt{2}$的圆．
设M（x₀，y₀），则由MA=$\sqrt{2}$MO，A（0，a），O（0，0），
可得（x₀-0）²+（y₀-a）²=2（x₀²+y₀²），即3x₀²+3y₀²+2ay₀-a²=0，即x₀²+（y₀+a）² =2a²．
则M在以（0，-a）为圆心，r=$\sqrt{2}$a为半径的圆上．
又点M在圆C上，则这两个圆有交点，即圆心之间的距离d满足：|r-$\sqrt{2}$|≤d≤r+$\sqrt{2}$，
即|$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$|≤$\sqrt{{（0+1）}^{2}{+（-a-2）}^{2}}$≤$\sqrt{2}$a+$\sqrt{2}$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（\sqrt{2}a-\sqrt{2}）}^{2}≤1{+（a+2）}^{2}}\\{1{+（a+2）}^{2}{≤（\sqrt{2}a+\sqrt{2}）}^{2}}\end{array}\right.$，
求得$\sqrt{3}$≤a≤4+$\sqrt{19}$，
故答案为：$\sqrt{3}≤a≤4+\sqrt{19}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆的位置关系的判断，考查不等式的解法，属于中档题．