Question

1．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）=x²．
（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；
（2）对于整数k，当x∈[2k-1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；
（3）对于整数k，记M_k={a|f（x）=ax在x∈[2k-1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）可得结论．
（2）先求出x∈[-1，1]时，f（x）=x²，设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，根据f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x）可求解．
（3）将方程f（x）=ax转化为二次函数，利用二次函数根的分布求a的取值集合．

解答 解：（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：f（x）是以2为周期的函数；
（2）∵当x∈[0，1]时，f（x）=x²，函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，
∴x∈[-1，1]时，f（x）=x²，
∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=（x-2k）²，
即f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z），
（3）当k∈N^*，且x∈I_k 时，方程f（x）=ax化简为x²-（4k+a）x+k²=0，
设g（x）=x²-（4k+a）x+k²，使方程f（x）=ax在I_k上有两个不相等的实数根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=a（a+8k）＞0}\\{2k-1＜\frac{k+a}{2}≤2k+1}\\{g（2k-1）=1-2ak+a＞0}\\{g（2k+1）=1-2ak-a≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{2k+1}$，
当k=2015时，
∴集合M₂₀₁₅=（0，$\frac{1}{4031}$]

点评 本题主要考查函数周期性的应用，以及二次方程根的分布问题，考查学生的转化能力，综合性较强，属于中档题．