Question

10．某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所示，下部ABCD为长8米高2米的矩形，上部$\widehat{CED}$是圆弧的一部分，欲使宽6米高3米的大型货车刚好能通过，求拱顶E距离路面AB至少需几米？

Answer 1

分析 建立以AB的中点为坐标原点和AB所在直线为x轴的直角坐标系．由图可知，C（4，2），G（3，3），D（-4，2）
设圆弧$\widehat{CED}$的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0），代入点的坐标，得到方程，解方程可得圆方程，再令x=0，解得y，即为所求．

解答 解：建立以AB的中点为坐标原点和AB所在直线为x轴的直角坐标系．
由图可知，C（4，2），G（3，3），D（-4，2）
设圆弧$\widehat{CED}$的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0
（D²+E²-4F＞0）
将C，G，D三点坐标代入，可得$\left\{\begin{array}{l}{4D+2E+F=-20}\\{-4D+2E+F=-20}\\{3D+3E+F=-18}\end{array}\right.$，
解得D=0，E=2，F=-24．
即有圆方程为：x²+y²+2y-24=0，
令x=0，解出y=4或-6（舍去），
因此OE=4．
答：拱顶E距离路面AB至少需4米．

点评 本题考查圆的方程的求法和运用，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于中档题．