Question

18．等比数列{a_n}的各项均为正数，且$2{a_1}+3{a_2}=1，{a_3}^2=9{a_2}{a_6}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=|10+2log₃a_n|，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设${c_n}={（{{{log}_3}{a_n}}）^2}$，求证：$\frac{1}{c_1}+\frac{1}{c_2}+\frac{1}{c_3}+…+\frac{1}{c_n}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设公比是q，根据等比数列的通项公式和题意求出q和a₁，再求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和对数的运算化简b_n=|10+2log₃a_n|，对n进行分类讨论，分别利用等差数列的前n项和公式求出S_n；
（Ⅲ）由（Ⅰ）和对数的运算化简${c_n}={（{{{log}_3}{a_n}}）^2}$，代入$\frac{1}{{c}_{n}}$结合结论进行放缩，利用裂项相消法证明$\frac{1}{c_1}+\frac{1}{c_2}+\frac{1}{c_3}+…+\frac{1}{c_n}＜\frac{7}{4}$成立．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
由$a_3^2=9{a_2}{a_6}$得，$a_3^3=9a_4^2$，所以${q^2}=\frac{1}{9}$．
由条件可知a_n＞0，则$q=\frac{1}{3}$． （2分）
由2a₁+3a₂=1得，2a₁+3a₂q=1，所以${a_1}=\frac{1}{3}$．       （4分）
所以数列{a_n}的通项式为a_n=$\frac{1}{3^n}$；（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=|10+2log₃a_n|=|10-2n|，
则当n≤5时，10-2n≥0，当n＞5时，10-2n＜0，
（1）当n≤5时，b_n=10-2n，${S}_{n}=\frac{n（8+10-2n）}{2}$=-n²+9n，
（2）当n＞5时，b_n=2n-10，
则S_n=8+6+…+0+（2+4+6+…+2n-10）=20+$\frac{（n-5）（2+2n-10）}{2}$
=n²-9n+40，
综上可得，${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-{n^2}+9n，n≤5}\\{{n^2}-9n+40，n＞5}\end{array}}\right.$；…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，${c_n}={（{{{log}_3}{a_n}}）^2}={n^2}$，
因为当n≥2时，所以$\frac{1}{{c}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
所以$\left.\begin{array}{l}{\frac{1}{{c}_{1}}+\frac{1}{{c}_{2}}+\frac{1}{{c}_{3}}+…+\frac{1}{{c}_{n}}=\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{＜\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）=\frac{7}{4}-\frac{1}{n}＜\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
故$\frac{1}{{c}_{1}}+\frac{1}{{c}_{2}}+\frac{1}{{c}_{3}}+…+\frac{1}{{c}_{n}}＜\frac{7}{4}$．…（12分）

点评 本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及利用恰当的放缩法证明不等式成立，属于中档题．