Question

8．已知数列{a_n}的前n和为S_n，且S_n满足：S_n=n²+n，n∈N₊．等比数列{b_n}满足：log₂b_n+$\frac{1}{2}{a_n}$=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n=n²+n，令n=1可得a₁=2，令n≥2可得a_n=S_n-S_n-1=2n，进而可得a_n=2n；代入${log_2}{b_n}+\frac{1}{2}{a_n}=0$得${b_n}={（\frac{1}{2}）^n}$；
（Ⅱ）通过a_n=2n、${b_n}={（\frac{1}{2}）^n}$可得${c_n}={a_n}{b_n}=n{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2，即a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
又a₁=2=2×1，∴a_n=2n；
由${log_2}{b_n}+\frac{1}{2}{a_n}=0$得：${b_n}={（\frac{1}{2}）^n}$；
（Ⅱ）∵a_n=2n，${b_n}={（\frac{1}{2}）^n}$，
∴${c_n}={a_n}{b_n}=n{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴${T_n}=1×{（\frac{1}{2}）^0}+2×{（\frac{1}{2}）^1}+3×{（\frac{1}{2}）^2}+$…$+（n-1）×{（\frac{1}{2}）^{n-2}}+n×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，…（1）
$\frac{1}{2}{T_n}=1×{（\frac{1}{2}）^1}+2×{（\frac{1}{2}）^2}+$…$+（n-1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+n×{（\frac{1}{2}）^n}$，…（2）
（1）-（2）得：$\frac{1}{2}{T_n}=1+{（\frac{1}{2}）^1}+{（\frac{1}{2}）^2}+$…$+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-n×{（\frac{1}{2}）^n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{2}）}^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-n×{（\frac{1}{2}）^n}$，
∴${T_n}=4-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}（n+2）$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．