Question

19．已知集合A={x|x²-x+a-1＜0}，集合B={x|x+|x|=0}，求A∩B．

Answer 1

分析 先求出集合A，B，对于需要分类讨论，再根据交集的定义即可求出．

解答 解：∵集合B={x|x+|x|=0}=（-∞，0]，
集合A={x|x²-x+a-1＜0}，
①当△=1-4（a-1）≤0时，即a≥$\frac{5}{4}$，
函数f（x）=x²-x+a-1≥0恒成立，
∴集合A=∅，
∴A∩B=∅，
②当△=1-4（a-1）＞0时，即a＜$\frac{5}{4}$时，
方程x²-x+a-1=0的两个根为x₁=$\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}$＞0，
∴集合A=（$\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}$），
当x₁≥0，即$\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$≥0时，解得1≤a＜$\frac{5}{4}$，
∴A∩B=∅，
当x₁＜0，即$\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$＜0时，解得a＜1，
∴A∩B=（-∞，$\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$），
综上所述：当a≥1时，A∩B=∅，A∩B=（-∞，0]，当a＜1，A∩B=（-∞，$\frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$）．

点评 本题考查了交集运算，考查了一元二次不等式的解法，以及分类讨论的思想，属于中档题．