Question

14．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e^xf（x）＞e^x+1，的解集是（　　）

• A． {x|x＞0}
• B． {x|x＜0}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|-1＜x＜1 }

Answer 1

分析 令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又f（0）=2，∴g（0）=e⁰f（0）-e⁰-1=2-1-1=0，
故当x＞0时，g（x）＞g（0），即e^xf（x）-e^x-1＞0，整理得e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）＞e^x+1的解集为{x|x＞0}．
故选A．

点评 本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系，综合性较强，难度较大．