Question

（2010•湖北模拟）已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：y=

4

3

x-

1

2

，被圆M所截的弦长为

3

，且圆心M在直线l的下方．
（I）求圆M的方程；
（II）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）设圆心M（a，0），利用M到l：8x-6y-3=0的距离，求出M坐标，然后求圆M的方程；
（II）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）设圆心M（a，0），由已知，得M到l：8x-6y-3=0的距离为

12-( 3 2 )2

=

1

2

，∴

|8a-3|

82+62

=

1

2

，
又∵M在l的下方，∴8a-3＞0，∴8a-3=5，a=1，故圆的方程为（x-1）²+y²=1．（4分）
（Ⅱ）设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，则直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6．由方程组

y=k1x+t y=k2x+t+6

，得C点的横坐标为xc=

6

k1-k2

，∵|AB|=t+6-t=6，∴S=

1

2

|

6

k1-k2

|•6=

18

k1-k2

，
由于圆M与AC相切，所以1=

|k1+t|

1+k12

，∴k1=

1-t2

2t

；同理，k2=

1-(t+6)2

2(t+6)

，∴k1-k2=

3(t2+6t+1)

t2+6t

，∴S=

6(t2+6t)

t2+6t+1

=6(1-

1

t2+6t+1

)，（10分）∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，∴Smax=6(1+

1

4

)=

15

2

，Smin=6(1+

1

8

)=

27

4

．（13分）

点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．