Question

5．过抛物线C：y²=4x的焦点F作直线l交C于A，B两点，若$|{AF}|=\frac{3}{2}$，则|BF|=3．

Answer 1

分析 将直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的性质，即可求得$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=1，由$|{AF}|=\frac{3}{2}$，代入即可求得|BF|的值．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F坐标（1，0），准线方程为x=-1．
设过F点直线方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
则x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=1，
将$|{AF}|=\frac{3}{2}$代入上式得：|BF|=3．
故答案为：3．

点评 本题考抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线焦半径公式，考查计算能力，属于中档题．