Question

13．已知函数f（x）=ln（2+3x）-$\frac{3}{2}{x^2}$．
（1）求f（x）在[0，1]上的极值；
（2）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
（3）若对任意$x∈[\frac{1}{6}，1]$，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；
（2）得到f（x）=-2x+b，得到ln（2+3x）-$\frac{3}{2}$x²+2x-b=0，根据函数的单调性求出函数的单调区间，求出b的范围即可；
（3）问题转化为$a＞lnx-ln\frac{3}{2+3x}或a＜lnx+ln\frac{3}{2+3x}$，设$h（x）=lnx-ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{{2x+3{x^2}}}{3}$，$g（x）=lnx+ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{3x}{2+3x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{3}{2+3x}-3x=\frac{-3（x+1）（3x-1）}{3x+2}$，
令$f'（x）=0得x=\frac{1}{3}或x=-1$（舍去），
∴$当0≤x＜\frac{1}{3}时，f'（x）＞0，f（x）$单调递增；
当$\frac{1}{3}＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）$单调递减．
∴$f（\frac{1}{3}）=ln3-\frac{1}{6}为函数f（x）在[0，1]$上的极大值…（3分）
（2）由$f（x）=-2x+b⇒ln（2+3x）-\frac{3}{2}{x^2}+2x-b=0$，
令$ϕ（x）=ln（2+3x）-\frac{3}{2}{x^2}+2x-b，则ϕ'（x）=\frac{3}{2+3x}-3x+2=\frac{{7-9{x^2}}}{2+3x}$，
当$x∈[0，\frac{{\sqrt{7}}}{3}]时，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在[0，\frac{{\sqrt{7}}}{3}]$上递增；
当$x∈[\frac{{\sqrt{7}}}{3}，1]时，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在[\frac{{\sqrt{7}}}{3}，1]$上递减
而$ϕ（\frac{{\sqrt{7}}}{3}）＞ϕ（0），ϕ（\frac{{\sqrt{7}}}{3}）＞ϕ（1）$，
∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]恰有两个不同实根，
等价于$\left\{\begin{array}{l}ϕ（0）=ln2-b≤0\\ ϕ（\frac{{\sqrt{7}}}{3}）=ln（2+\sqrt{7}）-\frac{7}{6}+\frac{{2\sqrt{7}}}{6}-b＞0\\ ϕ（1）=ln5+\frac{1}{2}-b≤0\end{array}\right.$，
∴$ln5+\frac{1}{2}≤b＜ln（2+\sqrt{7}）-\frac{7}{6}+\frac{{2\sqrt{7}}}{3}$．…（8分）
（3）由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得$|a-lnx|＞-ln\frac{3}{2+3x}$
①当$x∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}）时，-ln\frac{3}{2+3x}＜0，所以a∈R$
②当$x∈[\frac{1}{3}，1]时，-ln\frac{3}{2+3x}≥0$
$a＞lnx-ln\frac{3}{2+3x}或a＜lnx+ln\frac{3}{2+3x}$，
设$h（x）=lnx-ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{{2x+3{x^2}}}{3}$，$g（x）=lnx+ln\frac{3}{2+3x}=ln\frac{3x}{2+3x}$，
依题意知$a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[\frac{1}{3}，1]$上恒成立，
∵$h'（x）=\frac{3}{{2x+3{x^2}}}•\frac{1}{3}（2+6x）=\frac{2+6x}{{2x+3{x^2}}}＞0$，
$g'（x）=\frac{2+3x}{3x}•\frac{3（2+3x）-3x•3}{{{{（2+3x）}^2}}}=\frac{2}{x（2+3x）}＞0$，
∴$g（x）与h（x）都在[\frac{1}{6}，1]$上单增，要使不等式①成立，
$\begin{array}{l}∴a＞h（1）或a＜g（\frac{1}{3}），即a＞-ln\frac{3}{5}=ln\frac{5}{3}或a＜ln\frac{1}{3}=-ln3\\∴a∈（-∞，-ln3）∪（ln\frac{5}{3}，+∞）.\end{array}$
综上所述$a∈（-∞，-ln3）∪（ln\frac{5}{3}，+∞）$…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．