Question

7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的中点．
求：（1）$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的值；
（2）$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{AF}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，以及两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的值．
（2）利用两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{AF}$夹角的余弦值．

解答 解：（1）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的中点．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{2}$）•（$\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2}$+$\frac{{\overrightarrow{AD}}^{2}}{2}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{2}$+$\frac{4}{2}$+0=4．
（2）设$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{AF}$夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于基础题．