Question

17．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$（n∈N^*），则该数列前2016项积a₁•a₂…a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=1．

Answer 1

分析 利用递推关系可得：a_n+4=a_n．利用周期性即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，a₃=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，…，
∴a_n+4=a_n．
则该数列前2016项积a₁•a₂…a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=$（{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}）^{504}$=$[2×（-3）×（-\frac{1}{2}）×\frac{1}{3}]^{504}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．