Question

16．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）
（2）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且$f（x）=2f（\frac{1}{x}）-x$，求f（x）

Answer 1

分析 （1）设出一次函数解析式f（x）=ax+b，由题意得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则答案可求；
（2）在已知等式当中，以$\frac{1}{x}$替换x，联立方程组求得答案．

解答 解：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），
则由3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，得
3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
即（a-2）x+5a+b-17=0，则$\left\{\begin{array}{l}{a-2=0}\\{5a+b-17=0}\end{array}\right.$，解得a=2，b=7．
∴f（x）=2x+7；
（2）由$f（x）=2f（\frac{1}{x}）-x$，①
得f（$\frac{1}{x}$）=2f（x）-$\frac{1}{x}$，②
把②代入①得：f（x）=$\frac{2}{3x}+\frac{x}{3}$，（x＞0）．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用待定系数法求函数解析式，是基础题．