Question

设数列{a_n}是等比数列，对任意n∈N^*，T_n=a₁+3a₂+5a₃+…+（2n-1）a_n，已知T₁=1，T₂=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求使得T_n+1＜2（T_n+60）成立的最大正整数n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先设出等比数列的公比为q，利用T₁=1，T₂=5，求出数列的首项与公比，即可求数列的通项；
（2）利用错位相减法求出T_n的表达式，再代入T_n+1＜2（T_n+60）化简后，求出满足条件的最大正整数n的值．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比是q，由题意得，T₁=1，T₂=7，
则

a1=1 a1+3a1q=7

，解得a₁=1、q=2，
所以an=2n-1，
（2）由（1）得，
Tn=a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1…①，
2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n…②
①-②得：-Tn=1+2×2+2×22+2×23+…+2×2n-1-(2n-1)×2n，
=1+

4-2×2×2n-1

1-2

-(2n-1)×2n=（3-2n）×2ⁿ-3，
所以Tn=(2n-3)×2n+3，
又T_n+1＜2（T_n+60），
即（2n-1）×2ⁿ⁺¹+3＜2[（2n-3）×2ⁿ+3+60]，
化简得，2ⁿ⁺²＜123，
又2⁴⁺²=64＜123，2⁵⁺²=128＞123，
所以，使得T_n+1＜2（T_n+60）成立的最大正整数n的值是4．

点评：本题考查等比数列的通项公式，数列求和的方法：错位相减求和，以及不等式的求解，注意n的取值范围，正确处理T_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1+na_n是关键．