Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+2a|n-2016|（a＞0，n∈N^•），则使得a_n≤a_n+1恒成立的a的最大值为$\frac{1}{2016}$．

Answer 1

分析 S_n=n²+2a|n-2016|（a＞0，n∈N^•），可得a₁=S₁=1+4030a；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1+2a[|n-2016|-|n-2017|]．对n分类讨论，利用a_n≤a_n+1恒成立即可得出．

解答 解：∵S_n=n²+2a|n-2016|（a＞0，n∈N^•），
∴a₁=S₁=1+4030a；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2a|n-2016|-[（n-1）²+2a|n-2017|]=2n-1+2a[|n-2016|-|n-2017|]．
由a₁≤a₂，可得：1+4030a≤3-2a，解得a≤$\frac{1}{2016}$；
当2≤n≤2015时，a_n=2n-1-2a，a_n+1=2n+1-2a，此时a_n≤a_n+1对于a＞0恒成立；
n=2016时，a₂₀₁₆=2×2016-1-2a，a₂₀₁₇=2×2017-1+2a，此时a_n≤a_n+1对于a＞0恒成立；
当n≥2017时，a_n=2n-1+2a，a_n+1=2n+1+2a，此时a_n≤a_n+1对于a＞0恒成立．
综上可得：a的最大值为$\frac{1}{2016}$．
故答案为：$\frac{1}{2016}$．

点评 本题考查了递推关系、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．