Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$．
（Ⅰ）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且b_n=b₁+a₁b₂+a₂b₃+…+a_n-2b_n-1（n＞2），判断2016是否为数列{b_n}中的项？若是，求出相应的项数n，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$两边同时取倒数，整理即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知b₃=b₁+$\frac{1}{2}$b₂=2，当n≥2时利用b_n-1=b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-2}$b_n-2与b_n=b₁+a₁b₂+a₂b₃+…+a_n-2b_n-1作差，进而利用累乘法计算即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n＞1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为2、公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+n-1=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n+1}$；
（Ⅱ）结论：2016为数列{b_n}中的第3024项．
理由如下：
由（I）可知b_n=b₁+a₁b₂+a₂b₃+…+a_n-2b_n-1
=b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-1}$b_n-1（n＞2），
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₁+$\frac{1}{2}$b₂=2，
∵当n≥2时，b_n-1=b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-2}$b_n-2，
∴b_n-b_n-1=$\frac{1}{n-1}$b_n-1，即$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
由累乘法可知b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…•$\frac{{b}_{4}}{{b}_{3}}$•b₃
=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{4}{3}$•2
=$\frac{2}{3}$n，
当b_n=$\frac{2}{3}$n=2016时，解得：n=3024，
∴2016为数列{b_n}中的第3024项．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累乘法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．