Question

9．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若${S_n}={2^n}-a$，则数列$\left\{{\frac{a_n}{{（{{a_n}+a}）（{{a_{n+1}}+a}）}}}\right\}$的前100项和为（　　）

• A． $\frac{{{2^{101}}-1}}{{{2^{100}}+1}}$
• B． $\frac{{{2^{100}}-1}}{{{2^{100}}+1}}$
• C． $\frac{{{2^{101}}-1}}{{2（{{2^{101}}+1}）}}$
• D． $\frac{{{2^{100}}-1}}{{2（{{2^{100}}+1}）}}$

Answer 1

分析 通过${S_n}={2^n}-a$与S_n-1=2^n-1-a作差可知a_n=2^n-1（n≥2），进而可知a_n=2^n-1，利用裂项相消法计算即得结论．

解答 解：∵${S_n}={2^n}-a$，
∴当n≥2时，S_n-1=2^n-1-a，
两式相减，得：a_n=2^n-1（n≥2），
又∵a₁=2-a，数列{a_n}为等比数列，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，即$\frac{2}{2-a}$=2，a=1，
∴a_n=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+a）（{a}_{n+1}+a）}$=$\frac{1}{{a}_{n}+a}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}+a}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴所求值为$\frac{1}{{2}^{0}+1}$-$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}+1}$-$\frac{1}{{2}^{100}+1}$
=$\frac{1}{{2}^{0}+1}$-$\frac{1}{{2}^{100}+1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{100}+1}$
=$\frac{{2}^{100}-1}{2（{2}^{100}+1）}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．