Question

19．设命题p：?x∈R，x²+x＞a，命题q：?x∈R，使x²+2ax+2-a=0
（1）写出两个命题的否定形式￢p和￢q；
（2）若命题（￢p）∨q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用特称命题与全称命题的关系即可得出．
（2）：?x∈R，x²+x＞a，可得：a＜（x²+x）_min，利用二次函数的单调性即可得出．命题q：?x∈R，使x²+2ax+2-a=0，△≥0，解出即可得出．即可得出￢p，￢q．命题（￢p）∨q为假命题，可得：￢p与q都为假命题，p与￢q都为真命题．

解答 解：（1）￢p：?x₀，使得${x}_{0}^{2}+{x}_{0}$≤a；￢q：?x∈R，x²+2ax+2-a≠0．
（2）命题p：?x∈R，x²+x＞a，∵x²+x=$（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$≥$-\frac{1}{4}$，∴a＜-$\frac{1}{4}$．
命题q：?x∈R，使x²+2ax+2-a=0，∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≥1，或a≤-2．
∴￢p：a$≥-\frac{1}{4}$；￢q：-2＜a＜1．
∵命题（￢p）∨q为假命题，
∴￢p与q都为假命题，∴p与￢q都为真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{4}}\\{-2＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$-2＜a＜-\frac{1}{4}$．
∴实数a的取值范围是$-2＜a＜-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．