Question

10．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若F₂关于直线y=$\frac{a}{b}$x的对称点恰好在双曲线上，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设F₂（c，0）关于直线y=$\frac{a}{b}$x的对称点为M（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，列出方程组，解方程组可得M点的坐标，代入双曲线的方程，结合a²+b²=c²，由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设F₂（c，0）关于直线y=$\frac{a}{b}$x的对称点为M（m，n），
可得$\frac{n}{m-c}$=-$\frac{b}{a}$，且$\frac{1}{2}$•n=$\frac{a}{b}$•$\frac{1}{2}$（m+c），
解得m=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$，
即有M（$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），
代入双曲线的方程可得$\frac{（{b}^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
化简可得（b²+a²）（b²-3a²）=a²c²，
可得b²-3a²=a²，即b²=4a²，
即有c²=5a²，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质，主要是离心率的求解和对称问题，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，属中档题．