Question

2．用数学归纳法证明：1+$\frac{n}{2}$≤1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2}+n$（n是正整数）

Answer 1

分析 利用数学归纳法分两步证明即可，①当n=1时，易证不等式成立；②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即即1+$\frac{k}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≤$\frac{1}{2}$+k，通过放缩法，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答 证明：①当n=1时，1+$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$+1，不等式成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+$\frac{k}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$≤$\frac{1}{2}$+k，
则n=k+1时，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$≥1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$
＞1+$\frac{k}{2}$+$\underset{\underbrace{\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}+…+\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}}}{{2}^{k}}$，
＞1+$\frac{k}{2}$+${2}^{k}•\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
=1+$\frac{k+1}{2}$
又1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$＜$\frac{1}{2}$+k+$\underset{\underbrace{\frac{1}{{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}}+…+\frac{1}{{2}^{k}}}}{{2}^{k}}$，
＜$\frac{1}{2}$+k+${2}^{k}•\frac{1}{{2}^{k}}$=$\frac{1}{2}$+（k+1），
即n=k+1时也成立，
综合①②可知，对任意的n∈N^*，1+$\frac{n}{2}$≤1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2}+n$．

点评 本题考查数学归纳法，着重考查放缩法的应用，考查转化思想与推理论证的能力，属于难题．