Question

13．设S_n是公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列，则$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$=（　　）

• A． $\frac{9}{5}$
• B． 3
• C． $\frac{9}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 S₁，S₂，S₄成等比数列，可得：${S}_{2}^{2}$=S₁S₄，代入可得：$（2{a}_{1}+d）^{2}$=${a}_{1}（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d）$，化简整理可得d与a₁的关系，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：∵S_n是公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴${S}_{2}^{2}$=S₁S₄，
∴$（2{a}_{1}+d）^{2}$=${a}_{1}（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d）$，
化为：d=2a₁≠0．
则$\frac{{S}_{3}}{{a}_{3}}$=$\frac{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d}{{a}_{1}+2d}$=$\frac{3{a}_{1}+6{a}_{1}}{{a}_{1}+4{a}_{1}}$=$\frac{9}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．