Question

5．已知函数f（x）=x•sinx，有下列四个结论：
①函数f（x）的图象关于y轴对称；
②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）；
③对于任意给定的正数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M；
④函数f（x）在[0，π]上的最大值是$\frac{π}{2}$．
其中正确结论的序号是①③（请把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；
②研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立；
③找出一个常数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M成立即可；
④根据f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$不是函数的极值点，即可得出结论．

解答 解：对于①，∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），∴函数为偶函数，
∴函数f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；
对于②∵当x=2kπ+$\frac{π}{2}$时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故②错；
对于③∵|sinx₀|≤1，∴对任意给定的正数M，都存在实数x₀，使得|f（x₀）|≥M，故③正确；对于④，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$．∵f′（x）=sinx+xcosx，∴f′（$\frac{π}{2}$）=1，∴$\frac{π}{2}$不是函数的极值点，故④不正确
故答案为：①③．

点评 本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．