Question

3．已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}+{a}^{-\frac{3}{2}}+2}{a+{a}^{-1}+3}$的值．

Answer 1

分析 根据指数幂的运算性质即可求出

解答 解：（1）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴（a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²=3²，
∴a+a^-1=7，
∴a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=7²-2=47，
∴a³+a^-3=（a+a^-1）（a²+a^-2-1）=7×（47-1）=322，
∴$\frac{{a}^{\frac{3}{2}}+{a}^{-\frac{3}{2}}+2}{a+{a}^{-1}+3}$=$\frac{322+2}{7+3}$=32.4．

点评 本题考查了指数幂的运算性质，关键是掌握完全平方公式，立方差公式，属于基础题．