Question

13．数列{a_n}的各项为互异正数，且其倒数构成等差数列，则$\frac{{a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+…+{a}_{2014}{a}_{2015}}{{a}_{1}{a}_{2015}}$=2014．

Answer 1

分析 根据题意，$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=…=$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2014}}$=d≠0，通分为$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{{a}_{1}a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}{-a}_{3}}{{{a}_{2}a}_{3}}$=…=$\frac{{a}_{2014}{-a}_{2015}}{{{a}_{2014}a}_{2015}}$=d；求出a₁a₂、a₂a₃、…与a₂₀₁₄a₂₀₁₅，代人$\frac{{a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+…+{a}_{2014}{a}_{2015}}{{a}_{1}{a}_{2015}}$即可求出结果．

解答 解：数列{a_n}的各项为互异正数，且其倒数构成等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=…=$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2014}}$=d≠0，
∴$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{{{a}_{1}a}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}{-a}_{3}}{{{a}_{2}a}_{3}}$=…=$\frac{{a}_{2014}{-a}_{2015}}{{{a}_{2014}a}_{2015}}$=d；
∴a₁a₂=$\frac{{a}_{1}-{a}_{2}}{d}$，a₂a₃=$\frac{{a}_{2}{-a}_{3}}{d}$，…
a₂₀₁₄a₂₀₁₅=$\frac{{a}_{2014}{-a}_{2015}}{d}$，
∴$\frac{{a}_{1}{a}_{2}+{a}_{2}{a}_{3}+…+{a}_{2014}{a}_{2015}}{{a}_{1}{a}_{2015}}$=$\frac{1}{d}$•$\frac{{（a}_{1}{-a}_{2}）+{（a}_{2}{-a}_{3}）+…+{（a}_{2014}{-a}_{2015}）}{{{a}_{1}a}_{2015}}$
=$\frac{1}{d}$•$\frac{{a}_{1}{-a}_{2015}}{{{a}_{1}a}_{2015}}$
=$\frac{1}{d}$•（$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）
=$\frac{1}{d}$•（2015-1）d
=2014．
故答案为：2014．

点评 本题考查了等差数列的定义与应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是基础题目．