Question

12．已知数列{a_n}的首项${a_1}=\frac{2}{3}$，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+1}}$，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明：数列$\{\frac{1}{a_n}-1\}$是等比数列；  
（Ⅱ）数列 $\{\frac{2^n}{a_n}\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{a_n}$，变形为$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{2}（\frac{1}{a_n}-1）$，即可证明；另解：设 ${b_n}=\frac{1}{a_n}-1$，则${a_n}=\frac{1}{{{b_n}+1}}$，可得$\frac{1}{{{b_{n+1}}+1}}=\frac{{\frac{2}{{{b_n}+1}}}}{{\frac{1}{{{b_n}+1}}+1}}$，即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}+1$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+1}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{a_n}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{2}（\frac{1}{a_n}-1）$，又${a_1}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{a_1}-1=\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{1}{a_n}-1\}$是以为$\frac{1}{2}$首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
另解：设 ${b_n}=\frac{1}{a_n}-1$，则${a_n}=\frac{1}{{{b_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{b_{n+1}}+1}}=\frac{{\frac{2}{{{b_n}+1}}}}{{\frac{1}{{{b_n}+1}}+1}}$，
得 2b_n+1=b_n，而${b_1}=\frac{1}{2}$，所以命题得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{2}•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=\frac{1}{2^n}$，即$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}+1$，
∴$\frac{2^n}{a_n}={2^n}+1$．
∴${T_n}={2^{n+1}}-1+n$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、“取倒数法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．